Galilei dixit

[AndreasB]

Mir ist es nicht klar, dass sich jede beliebige Welt mathematisch beschreiben ließe (egal, wie komplex die Beschreibung ist), ich lass es mir aber gern erklären. Zumindest die Aussage "eine amathematische Welt ist möglich" kann ich ja schon mal treffen.

Ich weiß nicht genau, was das sein sollte: Eine Welt, die mathematisch nicht beschreibbar ist.

Ich auch nicht , aber da ich diesen Einwand vorgesehen hatte, habe ich mir ein paar Gedanken gemacht.

Man müsste den Begriff der mathematischen Beschreibbarkeit erst konkretisieren.

Einer meiner Gedanken war, dass Mathematik durch ihren hohen Voraussagewert so nützlich ist. Und dass als Voraussetzung für diesen Voraussagewert die Möglichkeit bestehen muss, Regelmäßigkeiten zu erkennen. Den Begriff der Zeit schleppe ich dabei ungeprüft mit - also Obacht! - denn ohne Zeit brauche ich natürlich keine Voraussage.

Meine erste Idee war, von einem Universum auszugehen, dass sich als irgendeine Art Rauschen denken lässt, aber nur wenig Überlegung brachte mich zu dem Schluss, dass ein solches Universum den Voraussagewert 1 hat, denn was als Nächstes kommt ist Rauschen. Also müssen in einem solchen Universum Strukturen entstehen, die aber keinerlei Regelmäßigkeit unterliegen, auch keiner Meta-Regelmäßigkeit - oder, so wie in unserem Universum mindestens eine Insel der Negentropie das Leben ermöglicht hat, in einem solchen Universum es mindestens eine Insel des Nicht-Rauschens geben kann.

Wenn man das gemacht hat, sagt mir meine Intuition, müsste man beweisen können, dass es nicht-beschreibbare Welten gibt. Der Beweisgang müsste wie beim Gödelsatz oder dem Turingschen Halteproblem gehen. (Es gibt ja auch zum Beispiel nicht-berechenbare Zahlen - man tut sich bloß schwer sie hinzuschreiben, falls jetzt einer einBeispiel will ).

Hm, zumindest kann die Existenz einer nicht beschreibbaren Welt nicht ausgeschlossen werden, soweit 'Existenz' eine Eigenschaft von 'Welt' ist. Denn, wenn eine Welt nicht beschreibbar ist, können auch ihre Eigenschaften nicht beschrieben werden, da über unbeschreibbare Eigenschaften keine Aussagen gemacht werden können - die wären ja wieder eine Beschreibung.

[AndreasB]

Man könnte es auch anders ausdrücken: Mit der Mathematik kann man jede nur mögliche Welt beschreiben - in einigen Welten wäre das vielleicht sehr einfach, in anderen fast unendlich kompliziert, und alles dazwischen. Es ist also kein Wunder, dass sich unsere Welt auch in der Sprache der Mathematik beschreiben lässt.

Diese Begründung "Mit der Mathematik kann man jede nur mögliche Welt beschreiben ..." -> "Es ist also kein Wunder, dass sich unsere Welt auch in der Sprache der Mathematik beschreiben lässt." lässt mich unbefriedigt. Genaugenommen erscheint sie mir als Zirkelschluss.

 

Hm, ich sehe den Zirkel nicht.

Lass mich deinen Satz mal umformulieren: Wenn eine Welt mathematisch beschreibbar ist, dann ist diese Welt möglich.

Was mir letzlich fehlt ist eine Begründung für das 'jede', muss aber nicht sofort sein.

Unsere Welt existiert und gehört damit definitiv zur Klasse der "möglichen Welten". Wir beobachten, dass wir diese Welt mit der Mathematik beschreiben können. Aber wir beobachten auch, dass wir auch andere Welten mit der Mathematik beschreiben können, die nicht unsere Welt ist. Das Beispiel dafür ist die euklidische Geometrie: Sie ist möglich und in kleinem Maßstab sogar näherungsweise anwendbar, aber sie beschreibt nicht unsere Welt.

Nun, da aber die Anzahl der Nachkommastellen von Längen durch die Planck-Länge limitiert ist, fallen praktisch, wenn die Abweichung der euklidschen Näherung kleiner als diese Länge ist, die euklidsche und die nicht-euklidsche Geometrie in eins.

Welche der Geometrien für unsere Welt gilt, müssen wir durch Beobachtung herausfinden.

Einstein hat ja gezeigt, dass die konkrete Ausformung der Geometrie in der Raumzeit von der Beschleunigung des konkreten Systems abhängt. Ebenso kann ich mir denken, dass die 'richtige' Geometrie z. B. von der konkreten Größe der geom. Objekte abhängt, diese Größe kann ja immer absolut (als Vielfaches der Planck-Länge) angegeben werden, weshalb unterschiedliche Größenordnungen sich so auch qualitativ unterscheiden. Und ebenso kann ich mir denken, dass dadurch, dass so viele Objekte die Raumzeit verbiegen und dabei auch noch ständig ihre Orte ändern, die Geometrie des Raumes sich so unscharf wie das Elektron um den Atomkern zwischen sphärisch und hyperbolisch bewegt/befindet, mit der euklidschen Geometrie als 'Schwingungsknoten'. Denn die Messwerte suggerieren einen Wert, der nahe dem der euklidschen Geometrie liegt.

Aber es gibt nichts, was dagegen spricht, dass auch eine Welt existiert, deren Geometrie sich mit der euklidischen Geometrie exakt beschreiben lässt. So eine Welt ist möglich, aber es ist nicht unsere Welt.

 

Mögliche Welten müssen ja nicht existieren, sie müssen nur möglich sein.

Ja, nee, is klar.

[David]

Einer meiner Gedanken war, dass Mathematik durch ihren hohen Voraussagewert so nützlich ist.

 

Die Mathematik macht keine Voraussagen. Die Mathematik ist nur ein Hilfsmittel, um zu überblicken, was wir (voraus)sagen.

 

Und eine physikalische Theorie ist zwar in der Sprache der Mathematik verfasst, aber trotzdem ist der Weg von der Beobachtung zur Theorie kein mathematischer, sondern besteht letztlich aus purem Raten. Da wird mir auch Sokrates ausnahmsweise zustimmen.

 

Hm, zumindest kann die Existenz einer nicht beschreibbaren Welt nicht ausgeschlossen werden, soweit 'Existenz' eine Eigenschaft von 'Welt' ist.

 

Existenz ist keine Eigenschaft.

[Sokrates]

Genauso wie man zu jeder Kurve eine Formel finden kann, kann man jede Welt mathematisch erfassen.

Selbstverständlich kann man nicht zu jeder Kurve eine Formel finden.

 

 

Aber man kann zu jeder Kurve eine Formel finden, die die Kurve mit beliebiger Genauigkeit beschreibt. Und wo man's nicht kann, handelt es sich nur um eine praktische Schwierigkeit.

Du kannst ja mal näherungsweise die "Fleißige Biber"-Funktion für n=6 oder 7 angeben.

 

Die Mathematik nach Tarski, Gödel und Turing ist einfach ein bisschen komplexer, als sich das Frege und Russell (oder gar Wittgenstein) vorstellen konnten. Wobei man sagen muss, dass Russell mit seinem (mit Whitehead zusammen verfassten) Monumentalwerk "Principia Mathematica" wesentlich dazu beigetragen hat, dass man das herausfinden konnte.

[Volker]

Lass mich deinen Satz mal umformulieren: Wenn eine Welt mathematisch beschreibbar ist, dann ist diese Welt möglich.

Was mir letzlich fehlt ist eine Begründung für das 'jede', muss aber nicht sofort sein.

 

Ah, jetzt verstehe ich das Problem. Sorry. Aber jede Welt, in der ein Beobachter sitzt (diese Einschränkung habe ich weggelassen), der diese Welt beschreiben kann, muss auch beschreibbar sein - sonst gäbe es keinen Beobachter, der mit dieser Welt entstanden ist. Theoretisch wäre eine völlig chaotische Welt denkbar, aber in dieser würde kein Beobachter sitzen und sich wundern, warum er er die Welt nicht beschreiben kann. Damit ein Beobachter entstehen und beobachten kann, wird eine Regelmäßigkeit der Welt vorausgesetzt.

 

Man könnte auch sagen: Weil wir in einer Welt existieren, die beobachtbar ist, muss es auch Regeln geben, nach denen sie beschreibbar ist. Denn ohne die Regelmäßigkeit gäbe es uns nicht. Man fände in chaotischen Welten keine Beobachter.

 

Aber - und hier habe ich einen Dissens mit David - jede Welt, die aus einfachen Elementen, also einer begrenzten Anzahl von Elementen besteht (wie unsere), muss im Kern verhältnismäßig einfach sein. Eine begrenzte Anzahl von Elementen kann keine unendliche Variation an Regeln (das wäre dann Chaos) hervorbringen. Gut, je mehr es an Kombinationsmöglichkeiten der Elemente gibt, umso größer kann die Komplexität werden, und die kann die Kapazität eines jeden Beobachters überschreiten. Es ist ja noch nicht ausgemacht, ob die Komplexität der Welt uns überfordert oder nicht. Komplexität kann aus ganz einfachen Regeln entstehen. Die ultimative Komplexität wäre natürlich gegeben, wenn es eine extrem große Anzahl an Elementen gäbe, oder nur an Elementen, die alle individuell verschieden sind. Aber unsere Welt besteht aus einer begrenzten Anzahl an Bausteinen, die untereinander völlig identisch sind. Die Variationen sind also überschaubar, zumindest gilt das für die Bausteine, aus der wir bestehen (über dunkle Materie wissen wir noch nichts).

 

Aber wenige Bausteine mit einfachen Regeln können sowohl Ordnung als auch Chaos hervorbringen, wobei mit letzterem eine "nicht überschaubare Komplexität" gemeint ist. "nicht überschaubar" natürlich von unserer Perspektive aus.

 

Was natürlich oft übersehen wird, ist die Tatsache, dass der größte Teil der Welt chaotisch ist. In unserer Welt gibt es, weil sie aus einfachen Elementen mit einfachen Regeln besteht, beides - Chaos und Ordnung, wobei ca. 96-97% des Universums völlig chaotisch sind. Wir leben in einer Nische, in der es geordnet zugeht, andernfalls gäbe es uns nicht.

 

Aber die Entstehung von Ordnung im Chaos ist zwangsläufig: Wenn man einen Korb mit 100 Würfeln hat, und diesen irgendwo ausschüttet, dann ist die Wahrscheinlichkeit gering, dass es nicht irgendwo zwei oder drei Würfel gibt, die eine nahezu perfekte Anordnung zeigen.

 

In unserem Universum sind die geordneten Makrostrukturen aus zufälligen Fluktuationen im Quantenfeld hervorgegangen: Winzige Unregelmäßigkeiten im Chaos führen zwangsläufig zum Entstehen geordneter Strukturen. "Totales Chaos" ist eben sehr unwahrscheinlich, wie beim Beispiel mit den Würfeln. Unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich.

 

Das hängt mit einer weiteren Eigenschaft des Chaos zusammen: Wenn man Chaos mit Entropie als äquivalent betrachtet (was nicht so ganz stimmt, aber hinreichend genau genug ist), dann wird zu Beginn des Universums die Entropie ihre maximale Größe gehabt haben. Das ist etwas, was viele nicht verstehen, wenn sie nur die absolute Größe der Entropie betrachten. Maßgeblich für die Ordnung in einem System ist aber nicht die absolute Größe der Entropie, sondern die relative Distanz zwischen maximal möglicher und tatsächlich vorhandener Entropie. Die maximal mögliche Entropie, wenn sie in einem System realisiert ist, bedingt dann auch maximales Chaos.

 

Aber in dem das Universum sich ausdehnt, wächst auch seine Kapazität, Entropie aufzunehmen, je größer es ist, umso mehr Entropie kann es aufnehmen. Das bedeutet, dass die Distanz zwischen tatsächlich vorhandener, absoluter Entropie, und die Menge an Entropie, die das Universum aufnehmen kann, wächst. Da Entropie linear wächst, das Universum aber exponentiell größer wird, nimmt die Menge an Entropie, die das Universum aufnehmen kann, exponentiell zu, und die relative Distanz zwischen möglicher und vorhandener Entropie wächst exponentiell. Und daraus ergibt sich, dass auch die Ordnung wächst, denn das ist ein Maß des Abstands zwischen vorhandener und möglicher Entropie.

 

Und damit wächst auch die Ordnung, die wir beschreiben können. Tatsächlich können wir nur den Teil der Welt beschreiben, der geordnet ist, jene winzige Nische, in der sich Galaxien, Sterne, Planeten und letztlich wir selbst gebildet haben (nicht mehr als 3-4% des Universums).

 

Und auf diese Ordnung, die ja gewisse Regeln hat, können wir Mathematik anwenden. Chaos bedeutet natürlich nicht "totale Regellosigkeit", weil wir es ja immer noch grundlegend mit einfachen Elementen, die nicht beliebig kombinierbar sind, zu tun haben.

 

Die Eigenschaft wiederum, dass unser Universum in seinen Grundelementen einfach ist, kommt daher, dass unser Universum aus etwas entstanden ist, was maximal einfach ist - maximal einfach ist ein Zustand absoluter Symmetrie. Jede Brechung dieser Symmetrie verkompliziert die Dinge etwas.

bearbeitet 31. Juli 2008 von Volker

[David]

Genauso wie man zu jeder Kurve eine Formel finden kann, kann man jede Welt mathematisch erfassen.

Selbstverständlich kann man nicht zu jeder Kurve eine Formel finden.

 

 

Aber man kann zu jeder Kurve eine Formel finden, die die Kurve mit beliebiger Genauigkeit beschreibt. Und wo man's nicht kann, handelt es sich nur um eine praktische Schwierigkeit.

Du kannst ja mal näherungsweise die "Fleißige Biber"-Funktion für n=6 oder 7 angeben.

 

Die Mathematik nach Tarski, Gödel und Turing ist einfach ein bisschen komplexer, als sich das Frege und Russell (oder gar Wittgenstein) vorstellen konnten. Wobei man sagen muss, dass Russell mit seinem (mit Whitehead zusammen verfassten) Monumentalwerk "Principia Mathematica" wesentlich dazu beigetragen hat, dass man das herausfinden konnte.

 

Wie gesagt: Das Logizistikprogramm ist in der gegenwärtigen Philosophie der Mathematik wieder ziemlich hip. Es scheint also nicht so hoffnungslos zu sein, wie du es hier darstellst, und mit den von dir gebrachten Beispielen hat m.E. es schon gar nichts zu tun.

[David]

@volker:

Aber - und hier habe ich einen Dissens mit David - jede Welt, die aus einfachen Elementen, also einer begrenzten Anzahl von Elementen besteht (wie unsere), muss im Kern verhältnismäßig einfach sein. Eine begrenzte Anzahl von Elementen kann keine unendliche Variation an Regeln (das wäre dann Chaos) hervorbringen.

 

Kapier ich nicht. Was soll das heißen?

 

Nehmen wir doch mal, um die Sache klar zu kriegen, eine ganz einfache Modellwelt. Sie besteht lediglich aus einer eindimensionalen Abfolge von Ereignissen. Es gibt nur fünf Ereignistypen: A, B, C, D, E.

 

Eine Welt dieser Art, in der es eine Ordnung gibt, könnte zum Beispiel so aussehen:

 

ABABABCABABABDABABABEABABABCABABABDABABABEABABABC

 

In dieser Welt gibt es in der Ereignisabfolge bestimmte Regularitäten. Diese Regularitäten kann man als die "Naturgesetze" dieser Welt bezeichnen. Sie sind ein objektiver Aspekt der Welt - aber sie sind nicht notwendig.

 

Denn man kann sich auch eine Welt denken, in der die Ereignisse ohne irgendeine erkennbare Ordnung aufeinanderfolgen. Zum Beispiel so:

 

AEDBBBDCDEAEDEECDBAE

 

Was spricht gegen eine Welt, die in diesem Sinne chaotisch ist?

[Sokrates]

Wie gesagt: Das Logizistikprogramm ist in der gegenwärtigen Philosophie der Mathematik wieder ziemlich hip. Es scheint also nicht so hoffnungslos zu sein, wie du es hier darstellst, und mit den von dir gebrachten Beispielen hat m.E. es schon gar nichts zu tun.

Wer sollte behauptet haben, dass meine Beispiele mit einem "Logizistikprogramm" zu tun haben sollten? Mein Beispiel widerlegt deine Behauptung, zu jeder Kurve gäbe es eine Formel.

 

Ob das von dir angesprochene Logizistikprogramm im Moment "hip" ist, kann ich nicht beurteilen, ich bin seit 20 Jahren weg vom Geschäft. Die Idee, Sätze spannender, realer Mathematik in endloser Fleißarbeit aus kilometerlangen Ketten von sinnlosen logischen Symbolen und dem Modus Tollens herzuleiten, habe ich schon damals (zur Freude meines Mentors) mit der Idee verglichen, unter die Dusche zum Wichsen zu gehen, während in meinem Bett eine wunderschöne und wollüstige Frau liegt.

[David]

Wie gesagt: Das Logizistikprogramm ist in der gegenwärtigen Philosophie der Mathematik wieder ziemlich hip. Es scheint also nicht so hoffnungslos zu sein, wie du es hier darstellst, und mit den von dir gebrachten Beispielen hat m.E. es schon gar nichts zu tun.

 

Ob das von dir angesprochene Logizistikprogramm im Moment "hip" ist, kann ich nicht beurteilen, ich bin seit 20 Jahren weg vom Geschäft. Die Idee, Sätze spannender, realer Mathematik in endloser Fleißarbeit aus kilometerlangen Ketten von sinnlosen logischen Symbolen und dem Modus Tollens herzuleiten, habe ich schon damals (zur Freude meines Mentors) mit der Idee verglichen, unter die Dusche zum Wichsen zu gehen, während in meinem Bett eine wunderschöne und wollüstige Frau liegt.

 

Nettes Beispiel, aber nicht ganz treffsicher. Denn der besondere Reiz des Logizistikprogramms besteht eben darin, dass die Apriorität und Notwendigkeit der Mathematik erklärt werden kann. Und das ist schon ein gewaltiger Nutzen. Nicht für Mathematiker, aber für neugierige Philosophen.

 

Solange man glaubt, mathematische Sätze wären Aussagen über die Welt oder über ein platonisches Himmelreich, gibt es keine Erkärung dafür, dass wir den Wahrheitswert mathematischer Urteile a priori bestimmen können. Sollte es sich aber bei mathematischen Sätzen um Tautologien handeln, die nicht grundsätzlich anders funktionieren als "Wenn 'A oder B' und Nicht-B, dann A" - dann wäre das Rätsel augenblicklich gelöst. Mathematische Sätze sind dann analytisch a priori, und ihre Apriorität beruht nur darauf, dass sie im Grunde nichtssagend sind.

[Sokrates]

Nettes Beispiel, aber nicht ganz treffsicher. Denn der besondere Reiz des Logizistikprogramms besteht eben darin, dass die Apriorität und Notwendigkeit der Mathematik erklärt werden kann. Und das ist schon ein gewaltiger Nutzen. Nicht für Mathematiker, aber für neugierige Philosophen.

Genau das war ein sinnvoller Ansatz, solange das Hilbertsche Programm noch in Kraft war: Die Idee, alle Mathematik auf eine logische Basis zu stellen, und damit mit "Gewissheit" abzusichern. Diesem Ziel diente die Erstellung der Principia Mathematica, eine riesengroße und anstrengende Fleißarbeit. Seit Gödel ist dieses PRogramm tot, und Russells Fleißarbeit war einer ihrer Totengräber.

 

Solange man glaubt, mathematische Sätze wären Aussagen über die Welt oder über ein platonisches Himmelreich, gibt es keine Erkärung dafür, dass wir den Wahrheitswert mathematischer Urteile a priori bestimmen können. Sollte es sich aber bei mathematischen Sätzen um Tautologien handeln, die nicht grundsätzlich anders funktionieren als "Wenn 'A oder B' und Nicht-B, dann A" - dann wäre das Rätsel augenblicklich gelöst. Mathematische Sätze sind dann analytisch a priori, und ihre Apriorität beruht nur darauf, dass sie im Grunde nichtssagend sind.

Nochmals langsam: Wer solche Fragen heute noch untersucht, hat den Schuss nicht gehört. Es gibt "formal unentscheidbare Sätze" in der Principia Mathematica und in jedem System, das gleich mächtig ist. Vulgo: Es gibt Sätze, die sind zwar wahr, aber nicht beweisbar.

[David]

Genau das war ein sinnvoller Ansatz, solange das Hilbertsche Programm noch in Kraft war: Die Idee, alle Mathematik auf eine logische Basis zu stellen, und damit mit "Gewissheit" abzusichern. Diesem Ziel diente die Erstellung der Principia Mathematica, eine riesengroße und anstrengende Fleißarbeit. Seit Gödel ist dieses PRogramm tot, und Russells Fleißarbeit war einer ihrer Totengräber

 

Du verwechselst da was. Der Formalismus von Hilbert ist etwas anderes als der Logizismus von Frege und Russell.

 

Nochmals langsam: Wer solche Fragen heute noch untersucht, hat den Schuss nicht gehört.

 

Wie gesagt sehen das manche Leute offenbar anders.

[Sokrates]

Du verwechselst da was. Der Formalismus von Hilbert ist etwas anderes als der Logizismus von Frege und Russell.

Du solltest nicht versuchen, mit Dingen zu blenden, von denen du offensichtlich nichts weißt.

 

Nochmals langsam: Wer solche Fragen heute noch untersucht, hat den Schuss nicht gehört.

 

Wie gesagt sehen das manche Leute offenbar anders.

Es ist eine Unsitte in der Philosophie, längst gelöste Fragen in einer Form wieder aufzugreifen, als hätte sie nie einer behandelt.

[Felix1234]

Genau das war ein sinnvoller Ansatz, solange das Hilbertsche Programm noch in Kraft war: Die Idee, alle Mathematik auf eine logische Basis zu stellen, und damit mit "Gewissheit" abzusichern. Diesem Ziel diente die Erstellung der Principia Mathematica, eine riesengroße und anstrengende Fleißarbeit. Seit Gödel ist dieses PRogramm tot, und Russells Fleißarbeit war einer ihrer Totengräber

 

Du verwechselst da was. Der Formalismus von Hilbert ist etwas anderes als der Logizismus von Frege und Russell.

 

 

Dem steht doch nicht entgegen, dass sie die gleichen Totengräber und ähnliche Todesursachen haben.

[Volker]

Vulgo: Es gibt Sätze, die sind zwar wahr, aber nicht beweisbar.

 

Der Satz ist aber nur halb richtig. Es gibt Sätze in einem System, die zwar wahr sind, deren Wahrheit aber nicht innerhalb des Systems beweisbar ist.

 

Sonst wüsste man ja nicht, ob die Sätze wahr sind oder nicht, und dann wäre die Behauptung falsch.

 

Das aber wiederum gilt ausschließlich für selbstreferentielle Sätze. Die letzte Einschränkung wird gerne übersehen und so getan, als ob dies für alle möglichen Sätze gelten würde, aber genau das gibt der Satz von Gödel nicht her. Dass man nicht die Wahrheit von allen Sätzen, die etwas über sich selbst aussagen, feststellen kann, halte ich für kein erhebliches Problem, es ist aber eine Stolperstelle für alle automatischen Beweissysteme: Die würden nie an ein Ende kommen, weil sie nicht feststellen können, ob ein gerade untersuchter Satz wahr ist und bei selbstreferentiellen Sätzen (von denen nicht alle "böse" sind) würden sie in Endlosschleifen enden.

 

Oder, noch anders formuliert:

 

Es gibt Sätze, deren Wahrheit nicht mit dem System bewiesen werden kann, in dem sie aufgestellt wurden, sondern nur in einem anderen System. Aber über ihre Wahrheit kann entschieden werden. Notwendig ist das meist nicht, weil das nur Sätze betrifft, die Aussagen über ihren eigenen Wahrheitsgehalt machen (und die sind eher selten von Nutzen).

 

Man kann nun darüber spekulieren, ob das auch für unsere Welt gilt. Wenn ja - und das halte ich für plausibel - dann gibt es Sätze über diese Welt, die zu dieser Welt gehören, und die zwar wahr sind, aber nicht beweisbar. Wichtig ist, dass dies nur für Sätze gilt, die etwas über sich selbst aussagen. Man könnte auch sagen: In der Welt ist Wahrheit oft/manchmal/immer unterdeterminiert. D. h., man kann von keinem Wahrheitsystem verlangen, dass es komplett auf sich selbst anwendbar ist, denn das wird nicht der Fall sein: Ein System kann nur beschränkt Aussagen über seinen eigenen Wahrheitsgehalt machen, es wird immer mehr davon wahr sein, als man mit diesen Aussagen über sich selbst herausfinden kann.

 

Woraus man beispielsweise ableiten kann, dass das Kriterium der Falsifizierbarkeit eben nicht unbedingt auf sich selbst anwendbar sein muss, damit das Kriterium etwas taugt. Es könnte wahr sein, ohne dass man seine Wahrheit über Selbstbezüglichkeit (oder Selbstanwendung) herausfinden kann.

 

Gödel ist zwar inzwischen populär, aber immer noch wenig verstanden. Solche Sätze sind zwar nicht falsch, aber sie erwecken bei denen, die Gödel nicht verstanden haben, leicht einen falschen Eindruck. Das Problem, das Gödel aufgerissen hat, ist nicht halb so schlimm, wie es sich oft anhört.

 

Das nur zur Klarstellung.

[Sokrates]

Nein, Volker. So stimmt das nicht. Ganz und gar nicht. Ich habe aber nicht die Zeit, das richtigzustellen. In einem Satz zusammengefasst kann man sagen: Man macht sich die Wahrheit des Satzes über eine andere Methode als ein Beweiskalkül klar. (Im Falle des Beweises Gödelsatzes über eine semantische Überlegung).

bearbeitet 31. Juli 2008 von Sokrates

[Volker]

Nein, Volker. So stimmt das nicht. Ganz und gar nicht. Ich habe aber nicht die Zeit, das richtigzustellen. In einem Satz zusammengefasst kann man sagen: Man macht sich die Wahrheit des Satzes über eine andere Methode als ein Beweiskalkül klar. (Im Falle des Beweises Gödelsatzes über eine semantische Überlegung).

 

Ja, damit hat man das System gewechselt. Und?

[AndreasB]

Lass mich deinen Satz mal umformulieren: Wenn eine Welt mathematisch beschreibbar ist, dann ist diese Welt möglich.

Was mir letzlich fehlt ist eine Begründung für das 'jede', muss aber nicht sofort sein.

 

Ah, jetzt verstehe ich das Problem. Sorry. Aber jede Welt, in der ein Beobachter sitzt (diese Einschränkung habe ich weggelassen), der diese Welt beschreiben kann, muss auch beschreibbar sein - sonst gäbe es keinen Beobachter, der mit dieser Welt entstanden ist.

Theoretisch wäre eine völlig chaotische Welt denkbar, aber in dieser würde kein Beobachter sitzen und sich wundern, warum er er die Welt nicht beschreiben kann. Damit ein Beobachter entstehen und beobachten kann, wird eine Regelmäßigkeit der Welt vorausgesetzt.

 

Man könnte auch sagen: Weil wir in einer Welt existieren, die beobachtbar ist, muss es auch Regeln geben, nach denen sie beschreibbar ist. Denn ohne die Regelmäßigkeit gäbe es uns nicht. Man fände in chaotischen Welten keine Beobachter.

Ja ja, die unausgesprochenen Prämissen als Garanten des Missverständnisses und der Verwirrung . Dass ein Beobachter nur mit Regelmäßigkeiten zu erhalten ist, war mir schon klar.

Aber - ... - jede Welt, die aus einfachen Elementen, also einer begrenzten Anzahl von Elementen besteht (wie unsere), muss im Kern verhältnismäßig einfach sein. Eine begrenzte Anzahl von Elementen kann keine unendliche Variation an Regeln (das wäre dann Chaos) hervorbringen. Gut, je mehr es an Kombinationsmöglichkeiten der Elemente gibt, umso größer kann die Komplexität werden, und die kann die Kapazität eines jeden Beobachters überschreiten. Es ist ja noch nicht ausgemacht, ob die Komplexität der Welt uns überfordert oder nicht. Komplexität kann aus ganz einfachen Regeln entstehen. Die ultimative Komplexität wäre natürlich gegeben, wenn es eine extrem große Anzahl an Elementen gäbe, oder nur an Elementen, die alle individuell verschieden sind. Aber unsere Welt besteht aus einer begrenzten Anzahl an Bausteinen, die untereinander völlig identisch sind. Die Variationen sind also überschaubar, zumindest gilt das für die Bausteine, aus der wir bestehen (über dunkle Materie wissen wir noch nichts).

Klar, das ist eine Aussage der Kombinatorik, dass eine endliche Anzahl von Elementen nur auf endlich viele Arten kombiniert werden kann.

 

Zur Einfachheit ist mir noch etwas eingefallen, was ich weiter am Beispiel der Mathematik illustrieren will: Selbst simple Lebewesen verfügen über 'mathematische Fähigkeiten', als Beispiel seien hier die Sprungspinnen erwähnt, die ihre Beute nur aufgrund hochkomplexer Berechnungen erwischen, auch wenn sie vermutlich diese Berechnungen nicht bewusst anstellen. Worauf ich hinauswill ist, das die 'Mathemazität' der Welt in die Lebewesen eingeprägt sein muss, da diese sich um so besser fortpflanzen können, je leichter sie in dieser Welt zurechtkommen, so dass diese mathematische Einprägung (die z.B. schon in den Aufbau bestimmter Organe eingeflossen sein kann) sich selbstverstärkend unter den Lebewesen verbreitet, schon lange bevor ein Lebewesen zu bewusster Reflexion über sich selbst fähig war. Um es mal etwas salopp auszudrücken, die Wurzeln unserer Mathmatik reichen zurück bis in die Ursprünge des Lebens und diese Wurzeln wirken von der Zeugung an in uns, kein Wunder das wir das als einfach empfinden, denn wir sind es nicht anders gewohnt. Ein ähnlicher Effekt, der zwar ein wenig an den Haaren herbeigezogen wirkt, aber dennoch den Gedanken illustriert, war im Vereinigten Königreich zu beobachten, als das dezimale Münzsystem eingeführt wurde. Viel ältere Engländer beschrieben dieses dezimale System als 'zu kompliziert', und das einzig und allein deswegen weil sie das alte System von Kindesbeinen an gewohnt waren. Kurz: diese Einfachheit kann auch eine Illusion sein, die einfach durch (Milliarden Jahre lange) Gewöhnung erzeugt wurde.

Aber wenige Bausteine mit einfachen Regeln können sowohl Ordnung als auch Chaos hervorbringen, wobei mit letzterem eine "nicht überschaubare Komplexität" gemeint ist. "nicht überschaubar" natürlich von unserer Perspektive aus.

 

Was natürlich oft übersehen wird, ist die Tatsache, dass der größte Teil der Welt chaotisch ist. In unserer Welt gibt es, weil sie aus einfachen Elementen mit einfachen Regeln besteht, beides - Chaos und Ordnung, wobei ca. 96-97% des Universums völlig chaotisch sind. Wir leben in einer Nische, in der es geordnet zugeht, andernfalls gäbe es uns nicht.

 

Aber die Entstehung von Ordnung im Chaos ist zwangsläufig: Wenn man einen Korb mit 100 Würfeln hat, und diesen irgendwo ausschüttet, dann ist die Wahrscheinlichkeit gering, dass es nicht irgendwo zwei oder drei Würfel gibt, die eine nahezu perfekte Anordnung zeigen.

 

In unserem Universum sind die geordneten Makrostrukturen aus zufälligen Fluktuationen im Quantenfeld hervorgegangen: Winzige Unregelmäßigkeiten im Chaos führen zwangsläufig zum Entstehen geordneter Strukturen. "Totales Chaos" ist eben sehr unwahrscheinlich, wie beim Beispiel mit den Würfeln. Unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich.

 

Das hängt mit einer weiteren Eigenschaft des Chaos zusammen: Wenn man Chaos mit Entropie als äquivalent betrachtet (was nicht so ganz stimmt, aber hinreichend genau genug ist), dann wird zu Beginn des Universums die Entropie ihre maximale Größe gehabt haben. Das ist etwas, was viele nicht verstehen, wenn sie nur die absolute Größe der Entropie betrachten. Maßgeblich für die Ordnung in einem System ist aber nicht die absolute Größe der Entropie, sondern die relative Distanz zwischen maximal möglicher und tatsächlich vorhandener Entropie. Die maximal mögliche Entropie, wenn sie in einem System realisiert ist, bedingt dann auch maximales Chaos.

 

Aber in dem das Universum sich ausdehnt, wächst auch seine Kapazität, Entropie aufzunehmen, je größer es ist, umso mehr Entropie kann es aufnehmen. Das bedeutet, dass die Distanz zwischen tatsächlich vorhandener, absoluter Entropie, und die Menge an Entropie, die das Universum aufnehmen kann, wächst. Da Entropie linear wächst, das Universum aber exponentiell größer wird, nimmt die Menge an Entropie, die das Universum aufnehmen kann, exponentiell zu, und die relative Distanz zwischen möglicher und vorhandener Entropie wächst exponentiell. Und daraus ergibt sich, dass auch die Ordnung wächst, denn das ist ein Maß des Abstands zwischen vorhandener und möglicher Entropie.

 

Und damit wächst auch die Ordnung, die wir beschreiben können. Tatsächlich können wir nur den Teil der Welt beschreiben, der geordnet ist, jene winzige Nische, in der sich Galaxien, Sterne, Planeten und letztlich wir selbst gebildet haben (nicht mehr als 3-4% des Universums).

 

Und auf diese Ordnung, die ja gewisse Regeln hat, können wir Mathematik anwenden. Chaos bedeutet natürlich nicht "totale Regellosigkeit", weil wir es ja immer noch grundlegend mit einfachen Elementen, die nicht beliebig kombinierbar sind, zu tun haben.

 

Die Eigenschaft wiederum, dass unser Universum in seinen Grundelementen einfach ist, kommt daher, dass unser Universum aus etwas entstanden ist, was maximal einfach ist - maximal einfach ist ein Zustand absoluter Symmetrie. Jede Brechung dieser Symmetrie verkompliziert die Dinge etwas.

Für ein Kurzreferat echt gelungen, allerdings vermisse ich eine gewisse Klarheit beim Chaosbegriff.

Nur weil wir etwas nicht überschauen ist dies noch längst nicht chaotisch, es kommt uns nur so vor - allerdings ergibt sich aus unserer Unfähigkeit ein weiteres Manko, nämlich dass es u. U. schwierig sein kann, mangelnde Überschaubarkeit von echtem Chaos zu unterscheiden. Dass bis heute keine Übereinstimmung herrscht, ob die Quantenfluktuation echt zufällig oder verborgen deterministisch ist, mag als Illustration dienen. Das völlige Durcheinander nannte ich ein paar Beiträger früher 'Rauschen', das wiederum ist natürlich statisch und vorhersehbar*.

Dann sprach ich von einem Universum mit sich ständig neu bildenden Regeln, was ich mir als ein Maximum an Nicht-Voraussagbarkeit vorstelle.

 

*Apropos 'Rauschen', ein Begriff, den ich hier in einer etwas erweiterten Bedeutung verwende, so kann auch das Verhalten eines Gases oder einer Menschenmenge in Panik als 'Rauschen' angesehen werden. Interessant finde ich dabei, dass zwar das 'Rauschen' als solches vorhergesagt werden kann, die Wege der Teilchen dieses Rauschens (in den Bspn. Gasmoleküle bzw. Menschen) aber zufällig anmuten, der Weg eines einzelnen Teilchens aber wiederum als determiniert betrachtet werden kann.

[David]

(Sokrates)

Du solltest nicht versuchen, mit Dingen zu blenden, von denen du offensichtlich nichts weißt.

 

Schlag's doch nach, wenn du glaubst, alles besser zu wissen.

 

Hier als Appetitanreger:

 

Der Formalismus ist eine von David Hilbert gegründete Schulrichtung der Grundlagenforschung in der Mathematik.

 

den 1920er Jahren stand der Formalismus (Göttinger Mathematiker) im Grundlagenstreit der Mathematik dem Intuitionismus (Brouwer und Berliner Mathematiker) und dem Logizismus (Gottlob Frege und Bertrand Russell) gegenüber.

 

http://de.wikipedia.org/wiki/Formalismus_%28Mathematik%29

 

Der Formalismus, den Hilbert vertreten hat, ist eine völlig andere Position innerhalb der Philosophie der Mathematik als der Logizismus, den Frege und Russell vertreten haben. Frege selbst hatte für die Ideen des Formalismus nur Hohn und Spott übrig.

 

Es ist eine Unsitte in der Philosophie, längst gelöste Fragen in einer Form wieder aufzugreifen, als hätte sie nie einer behandelt.

Ich glaube kaum, dass Philosophen wie Cripsin Wright keine Notiz von Gödels Erkenntnissen genommen haben.

[Sokrates]

(Sokrates)

Du solltest nicht versuchen, mit Dingen zu blenden, von denen du offensichtlich nichts weißt.

 

Schlag's doch nach, wenn du glaubst, alles besser zu wissen.

 

Ich gehe zu deinen Gunsten davon aus, dass du nicht annähernd verstehst, wie sehr du dich im Moment blamierst. Die Idee, ein halbgebildetes Büblein könnte einen promovierten Mathematiker mit Hilfe von Zitaten aus halbgaren Wikipedia-Artikeln über Mathematik belehren, hat schon einen gewissen inneren Humor.

[patmos]

(Sokrates)

Du solltest nicht versuchen, mit Dingen zu blenden, von denen du offensichtlich nichts weißt.

 

Schlag's doch nach, wenn du glaubst, alles besser zu wissen.

 

Ich gehe zu deinen Gunsten davon aus, dass du nicht annähernd verstehst, wie sehr du dich im Moment blamierst. Die Idee, ein halbgebildetes Büblein könnte einen promovierten Mathematiker mit Hilfe von Zitaten aus halbgaren Wikipedia-Artikeln über Mathematik belehren, hat schon einen gewissen inneren Humor.

 

Herrlich.

 

Diese argumentative Ohrfeige schallte unüberhörbar durch das ganze Forum und wird noch lange "nachwirken"!

(So Leutchen wie David überleben in diesem Forum doch eigentlich nur aus dem Grund, weil es Wiki und Google gibt, und selbst das können sie geistig nicht richtig verdauen und es endet dann, wie bei dem obigen Davidianischen Pseudogeschwurbel, in einer schon - monströs zu nennenden Blamage.)

[Sokrates]

Nein, Volker. So stimmt das nicht. Ganz und gar nicht. Ich habe aber nicht die Zeit, das richtigzustellen. In einem Satz zusammengefasst kann man sagen: Man macht sich die Wahrheit des Satzes über eine andere Methode als ein Beweiskalkül klar. (Im Falle des Beweises Gödelsatzes über eine semantische Überlegung).

Ja, damit hat man das System gewechselt. Und?

Damit hat man nicht nur "das System gewechselt". Damit hat man sich aus anderen Gründen als denen eines "Beweises" über die Wahrheit eines Satzes versichert (nämlich durch semantische Überlegungen auf der Ebene der Meta-Sprache). "Beweis" ist in diesem Kontext klar als formaler Kalkül definiert, der auf rein syntaktische Weise einen Satz herleitet (Die Art von Anwendung des Modus Ponens, die Du so liebst). Auf diese syntaktische Weise kommst Du nicht zu allen wahren Sätzen, das ist ja das, was der Unvollständigkeitssatz aussagt: Die Menge der wahren Sätze eines Systems ist größer als die Menge der ableitbaren Sätze.

[Volker]

Nein, Volker. So stimmt das nicht. Ganz und gar nicht. Ich habe aber nicht die Zeit, das richtigzustellen. In einem Satz zusammengefasst kann man sagen: Man macht sich die Wahrheit des Satzes über eine andere Methode als ein Beweiskalkül klar. (Im Falle des Beweises Gödelsatzes über eine semantische Überlegung).

Ja, damit hat man das System gewechselt. Und?

Damit hat man nicht nur "das System gewechselt". Damit hat man sich aus anderen Gründen als denen eines "Beweises" über die Wahrheit eines Satzes versichert (nämlich durch semantische Überlegungen auf der Ebene der Meta-Sprache). "Beweis" ist in diesem Kontext klar als formaler Kalkül definiert, der auf rein syntaktische Weise einen Satz herleitet (Die Art von Anwendung des Modus Ponens, die Du so liebst). Auf diese syntaktische Weise kommst Du nicht zu allen wahren Sätzen, das ist ja das, was der Unvollständigkeitssatz aussagt: Die Menge der wahren Sätze eines Systems ist größer als die Menge der ableitbaren Sätze.

 

Ok, damit bin ich einverstanden.

[David]

(Sokrates)

Du solltest nicht versuchen, mit Dingen zu blenden, von denen du offensichtlich nichts weißt.

 

Schlag's doch nach, wenn du glaubst, alles besser zu wissen.

 

Ich gehe zu deinen Gunsten davon aus, dass du nicht annähernd verstehst, wie sehr du dich im Moment blamierst. Die Idee, ein halbgebildetes Büblein könnte einen promovierten Mathematiker mit Hilfe von Zitaten aus halbgaren Wikipedia-Artikeln über Mathematik belehren, hat schon einen gewissen inneren Humor.

 

Dieser billige Versuch eines selbstbezüglichen argumentum ad verecundiam ändert nichts daran, dass meine Richtigstellung korrekt ist. Dein Doktortitel in Mathematik ändert nichts an den Tatsachen:

 

Erstens ist der Formalismus etwas völlig anderes als der Logizismus.

 

Zweitens sind beide Programme in der Philosophie der Mathematik immer noch, in veränderter Form, im Spiel. Und wenn du Wikipedia als unseriös empfindest, dann nimm mit diesem Artikel Vorlieb:

 

http://plato.stanford.edu/entries/philosop...athematics/#For

 

 

Und nun noch einen schönen Tag. Auf weitere Gespräche mit einem unfassbar arroganten Kotz.brocken wie dir habe ich verständlicherweise keine Lust.

bearbeitet 3. August 2008 von David

[David]

Fast hätte ich unseren drittklassigen Pausenclown übersehen:

 

Diese argumentative Ohrfeige schallte unüberhörbar durch das ganze Forum und wird noch lange "nachwirken"!

 

Weder eine Ohrfeige noch "argumentativ". Und ob irgendjemand außer dir wegen dieser Bemerkung aufgegröhlt hat, halte ich für fraglich. Aber einen Troll zum Gröhlen zu bringen, ist natürlich nicht schwer.

 

Hättest du nur das leiseste Interesse an Inhalten, dann würdest du den Links folgen und dich davon überzeugen, dass meine Hinweise korrekt waren und Sokrates hier zu Unrecht mit Beleidigungen um sich wirft.

[Sokrates]

Erstens ist der Formalismus etwas völlig anderes als der Logizismus.

 

Zweitens sind beide Programme in der Philosophie der Mathematik immer noch, in veränderter Form, im Spiel. Und wenn du Wikipedia als unseriös empfindest, dann nimm mit diesem Artikel Vorlieb:

 

http://plato.stanford.edu/entries/philosop...athematics/#For

Bevor sich noch jemand durch diese gehäufte Halbbildung verwirren lässt: Selbstverständlich gibt es einen Unterschied zwischen Formalismus und Logizismus. Für Halbgebildete grob verkürzt: Der Logizismus war Freges (und Russels) Ansatz einer Lösung des Hilbertschen Programms. Der Formalismus war Hilberts eigener Versuch. (Es gab noch andere, Brouwer zum Beispiel). Es ist sogar so, dass zwischen den Schulen ein ziemlich heftiger Glaubenskrieg tobte. Für das hier Diskutierte ist das allerdings vollkommen irrelevant. Weil nämlich durch Gödels Ergebnis dieser Streit auf die Bedeutung des Streites zwischen "Volksfront von Judäa" und "Judäischer Volksfront" reduziert wird. Nicht umsonst hat der erbitterte Streit im Jahre 1930 schlagartig aufgehört, als Gödel auf einer Tagung in Königsberg das Ergebnis, dass er 1931 veröffentlichte, erstmals vorstellte. (Im Gegensatz zu David verstanden Frege und Hilbert und ihre Anhänger, worüber sie so erbittert stritten).

 

Es bleibt dabei: Die Idee, alle Mathematik auf eine logisch-formale Basis zu stellen, und damit mit "Gewissheit" abzusichern, ist seit Gödel mausetot. Ebenso wie die Idee, Mathematik könne auf ein rein syntaktisches Klötzchenspiel ohne jegliches Verständnis semantischer Inhalte reduziert werden. Und wer glaubt, darauf mit dem Satz: "Du verwechselst da was. Der Formalismus von Hilbert ist etwas anderes als der Logizismus von Frege und Russell" antworten zu müssen, hat sich als halbgebildeter Besserwisser geoutet. Nach dem letzten Austausch möchte man präzisieren: "Unbelehrbarer halbgebildeter Besserwisser".

 

Nachtrag: Vielleicht sollte man für unseren Besserwisser noch hinzufügen, dass Frege selbst den Logizismus schon viel früher aufgab, nämlich mit Entdeckung des Russellschen Paradoxons um das Jahr 1900. Freges Idee wurde dann von Russell und Whitehead und anderen weitergeführt und zu retten versucht (u.a. durch Einführung einer mengentheoretischer "Typen"-Theorie, die eigentlich in sich schon das logizistische Programm ad absurdum führte, weil sie nicht logisch abgeleitet sondern ad-hoc erfunden war), bis Gödel das ganze Prgramm vernichtet hat. Und selbstverständlich ist das keine ´Herabsetzung von Frege oder Russell. Ohne sie wäre Gödel nicht denkbar. Sie haben das Pferd gesattelt und gezäumt, das Gödel dann totgeritten hat (Um mit Sternchen zu sprechen). Ich frage mich bloß: Warum gibt es heute noch Philosophen, die das tote Pferd immer noch reiten wollen. Außer Unwissen und Halbbildung fällt mir da kein Grund ein.

bearbeitet 3. August 2008 von Sokrates