Rätsel

[Rinf]

3, ja. Es ist drei Kanten weiter.

OK - handelt es sich um einen Zuckerwürfel? ;-)

Na gut, also ohne ein Loch durchzufressen...

 

Die Ameise muß über 2 Flächen des Würfels laufen.

Faltet man den Würfel auseinander, dann ist der Weg der gleiche, als würde sie vom einen Ende eines Rechtsecks (2 Seitenflächen des Würfels nebeneinander) zum anderen laufen - und da ist natürlich der kürzeste Weg die Diagonale dieses Rechtecks, und die schneidet die Trennlinie zwischen den beiden Würfelseitenflächen in der Mitte.

 

Also führt der Weg der Ameise über die Mitte der einen Kante.

 

(Das war doch jetzt erfreulich unmathematisch erklärt, oder?)

bearbeitet 8. Dezember 2004 von Rinf

[maxinquaye]

Gut eklärt, man muss den Würfel auseinanderfalten, das war der Trick.

 

 

neues Rätsel :

 

Warum gibt es im Casino Limits was den Geldeinsatz anbetrifft ?

[Rinf]

Warum gibt es im Casino Limits was den Geldeinsatz anbetrifft ?

Naja - trivialerweise, weil irgend so ein dahergelaufener Ölscheich (wahlweise: Kaufhauskettenbesitzer einer beliebten Billig-Kaufhauskette oder Betriebssystem-Aufschwatzer) ansonsten mal eben mehr Geld auf rot setzen könnte, als das Casino besitzt und gewinnen könnte.

 

Und dann war da noch die Strategie:

Setze immer auf rot und verdoppele deinen Einsatz bei Verlust (Und - gaaaanz wichig: Mache dich tatsächlich irgendwann mit deinem Gewinn vom Acker und verfalle nicht der Spielsucht). Wenn man davon ausgeht, daß nicht ununterbrochen schwarz kommt (wobei dieser Punkt in weiterer Entfernung liegen könnte, als man so allgemein denkt), könnte man ansonsten sicher den Ersteinsatz gewinnen.

(Die Assoziation "Schachbrett mit Reiskörnern" und "Überbevölkerung" legt mir in Deinem Falle diese Lösung aufgabenpsychologisch besonders ans Herz ;-) )

 

Oder: Es hat irgendwas damit zu tun, daß ein Roulette-Tisch über die Zeit nur über die Null gewinnt (1/37 des Umsatzes).

 

Das ist jetzt aber wirklich schwer geraten... (?)

[Wally]

Heisst die Antwort der ->heutigen AdventskalenderAufgabe: "2) Das Ergebnis ist korrekt." ?

Begründung: Die Gleichung "1 = 0" verdankt sich nur kleiner Rundungsfehler

von ca. 0,00000000005 für x1 und ca. 0,000001905 für x2.

[Ute]

Ja, finde ich auch.

[Sokrates]

Heisst die Antwort der ->heutigen AdventskalenderAufgabe: "2) Das Ergebnis ist korrekt." ?

Begründung: Die Gleichung "1 = 0" verdankt sich nur kleiner Rundungsfehler

von ca. 0,00000000005 für x1 und ca. 0,000001905 für x2.

Nein. Die richtige Antwort ist

 

7 ) Bei der Berechnung von b²-4c ist alle Information über x2 verschwunden.

 

x2 ist nämlich 5 * 10 hoch -11 (bis auf ein hundertmillionstel Prozent Fehler). der Wert Null ist um genau 5 * 10 hoch -11 zu kleine, das sind 100% Fehler. Dagegen ist x1 bis auf ein hundertmillionstel Prozent genau.

 

Das Problem ist wirklich, dass bei 10 hoch 20 -1 die ganze Information durch Rundung verloren geht. Würde man den Bruch mit -p - sqr(b²-4c) erweitern, würde sich das Ganze aufklären. (so kamichauf die 5*10 hoch -11.

[Ute]

Wieso eigentlich b^2 - 4c ?

[maxinquaye]

@Ralf

 

Richtig. Diese Rätsel sind zu einfach für Dich.

 

Zum neuen Rätsel :

 

Ich halte auch (ich lese gerade die Antwort von Sokrates) 7 für richtig. Das Ergebnis kann gar nicht korrekt sein 1=0 ?? Ich verstehe Wallys Erklärung nicht. Der Grund liegt einfach darin (und das kann Ralf wahrscheinlich viel besser erklären) das ein Rechner/Computer eine fixe Genauigkeit Stellenanzahl für eine Zahl hat (gerade C-Programmierer werden das wissen, int, float, long int usw.) b^2-4c ist für den Rechner ein Problem.

Das Rätsel ist nicht so schön, obwohl praxisrelevant, bei Algorithmen muss man aufpassen dass man die Rechenoperationen in einer geeigneten Reihenfolge ausführt.

[maxinquaye]

Wieso eigentlich b^2 - 4c ?

die "normale" Formel lautet (Diskriminante) p^2/4-c, die haben nur die 1/4 rausgezogen, darauf kommts ja nicht ab. Ist mir im übrigen gar nicht aufgefallen. Gut aufgepasst.

[Ute]

Axo, maxi, danke.

 

Jedenfalls ist es doch wohl so, dass der Taschenrechner runden muss (meiner tut das auch). Also ist das Ergebnis im Rahmen der Darstellung korrekt.

 

Ich finde dieses Rätsel sehr missverständlich gestellt. Wenn 7) richtig sein sollte, dann kollidiert das mE mit der korrekten Angabe.

 

Grüße von Ute

[maxinquaye]

Hm, welche korrekte Angabe ?

[Ute]

Mit der Angabe, es handele sich um die korrekte Anzeige. Ich halte diese Antwort für zutreffend, allerdings werden natürlich beim Runden Informationen gelöscht.

[Sokrates]

Mit der Angabe, es handele sich um die korrekte Anzeige. Ich halte diese Antwort für zutreffend, allerdings werden natürlich beim Runden Informationen gelöscht.

Du bist hoffentlichkeine Mathe-Lehrerin

 

Eine Lösung mit Fehler 100% kann niemals korrekt sein. Interessanterweise ist Lösung 1 (x1=2*10 hoch 10) richtig, obwohl da beim Einsetzen auch 0=1 rauskommt.

 

Das Beispiel ist zwar wirklich etwas dröge, aber es steckt ein wichtiges numerische sPrinzip dahinter: Bei der Subtraktuion vonZahlen können die relativen Fehler in astronomische Höhen explodieren.

 

Es liegt also (@Maxi) nicht an der fixen Stellengenauigkeit (der Taschenrechner rechnet vermutlich intern mit float), sondern an der numerischen Instabilität der Differenzbildung. Würde der REchner einen stabilen Algorithmus verwenden, kämen die exakten 5 * 10 hoch minus 11 heraus. (Der numerisch stabile Algorithmus wäre allerdings bei x1 = 12*20 hoch 10 instabil. Irgendwo ist es immerr S*******, wenn fast identische Zahlen voneinender abgezogen werden).

bearbeitet 8. Dezember 2004 von Sokrates

[Rinf]

Es liegt also (@Maxi) nicht an der fixen Stellengenauigkeit (der Taschenrechner rechnet vermutlich intern mit float), sondern an der numerischen Instabilität der Differenzbildung.

Ich denke mal, maxinquaye meinte auch nicht wirklich "fixe" sondern "begrenzte" Stellengenauigkeit eines Taschenrechners.

Und nur wegen der gibt's natürlich überhaupt erst die Rundungsfehler.

So wie Du's jetzt beschrieben hast, könnte man ja auf den Gedanken kommen, Mathematik würde prinzipiell bei großen Zahlen nur noch eine Schätzwissenschaft sein.

 

"Korrekt" ist das Ergebnis ("1=0") natürlich auch in einem gewissen Sinne, nämlich, daß es für einen handelsüblichen Taschenrechner ein vollkommen korrektes Verhalten ist, an dieser Stelle falsch zu rechnen.

 

Und das finde ich das Unschöne an dem Problem:

Man muß ein eigentlich ein Zusatzwissen darüber haben, mit welchem Zahltyp der Taschenrechner rechnet.

 

Falls ich das Ganze auf einem Rechner durchrechne, der sagen wir mal intern mit 1024-Bit-Fließkommazahlen (oder mit "beliebig" großen, so wie z.B. die Hüllklassen in der math-library von JAVA - "beliebig" natürlich nur, bis der Arbeitsspeicher dat Ganze denn doch irgenwann begrenzt) rechnen würde, dann wäre die Lösung 1) die richtige:

Wenn so einer "1=0" ausspuckten würde, dann wäre er kaputt.

 

 

@maxi: was war denn nun mit dem Casino? Wegen der Verdoppelung-bei-Niederlage-Strategie?

 

 

Gruß Ralf

bearbeitet 9. Dezember 2004 von Rinf

[maxinquaye]

Ja, ich denke dass ist ein wichtiger Grund: Denn dadurch verliert das Casino ja.

[Sokrates]

Ich denke mal, maxinquaye meinte auch nicht wirklich "fixe" sondern "begrenzte" Stellengenauigkeit eines Taschenrechners.

Und nur wegen der gibt's natürlich überhaupt erst die Rundungsfehler.

So wie Du's jetzt beschrieben hast, könnte man ja auf den Gedanken kommen, Mathematik würde prinzipiell bei großen Zahlen nur noch eine Schätzwissenschaft sein.

Das hatte ich versucht zu verdeutlichen. Es liegt nicht an der begrenzten Genauigkeit des Rechners. Es liegt an der mangelnden "numerischen Stabilität" des Algorithmus zur Nullstellenberechnung. Der Knackpunkt ist (und insofern ist die angebotene Lösung 7) wirklich irreführend und didaktisch ungeeignet):

 

Bei der Berechnung der Nullstelle x2 findet eine Subtraktion statt:

(1)     [10 hoch 10] - [Wurzel(10 hoch 20 -1)] 

Das ist die (auch theoretisch nachweisbare) Numerische Instabilität. Da geht jeder Rechner irgendwann in die Knie (wenn nicht bei 10 hoch 10 dann bei 10 hoch 100).

Das wäre vergleichbar damit, wenn man die Körpergrösse eines Menschen dadurch bestimmen wollte, dass man erst den Abstand vom Kopf bis zun Mond misst und dann von den Füssen bis zum Mond, und dann die Differenz bildet.

Die theoretisch sauber (und numerisch stabile) Methode, die obige Differenz auszuführen, ist die, dass man den Term (a-b) mit (a+b)/(a+b) erweitert, dann erhält man (a²-b²)/(a+b), aus obiger Gleichung (1) wird dann:

(1') [(10 hoch 20) - (10 hoch 20 -1)]/[10 hoch 10 + Wurzel(10 hoch 20 -1)]

und jetzt ist im Nenner das Runden problemlos möglich, weil die Subtraktion wegfällt. Und im Zähler kommt eine saubere 1 heraus. 

Also lautet das Ergebnis:

1/ [10 hoch 10 + Wurzel(10 hoch 20 -1)] oder gerundet 1/2*10 hoch 10, und das ergibt die fast genauen 5 * 10 hoch -11.

Ein wirklich guter Taschenrechner müsste einen solchen numerisch stabilen Algorithmus zur Lösung quadratischer Gleichungen implementieren. Dann hinge seine Genauigkeit wirklich nur von der Zahl seiner internen Stellen ab.

 

Mathematik bleibt auch bei grossen Zahlen exakt. Aber numerische Mathematik liefert beliebig falsche Ergebnisse, wenn man instabile Algorithmen verwendet. Es ist natürlich ein Problem, dass jeder Algorithmus irgendwann numerisch instabil werden kann. Die schlimmste Quelle von Instabilität ist immer die Subtraktion von sehr grossen, fast gleichen Zahlen.

bearbeitet 9. Dezember 2004 von Sokrates

[Caveman]

Die schlimmste Quelle von Instabilität ist immer die Subtraktion von sehr grossen, fast gleichen Zahlen.

Stimmt genau. Wie bei meinen Girokonto!

[Ute]

Stimmt, Sokrates, du hast natürlich Recht.

[maxinquaye]

Mit der Angabe, es handele sich um die korrekte Anzeige. Ich halte diese Antwort für zutreffend, allerdings werden natürlich beim Runden Informationen gelöscht.

Du bist hoffentlichkeine Mathe-Lehrerin

 

Eine Lösung mit Fehler 100% kann niemals korrekt sein. Interessanterweise ist Lösung 1 (x1=2*10 hoch 10) richtig, obwohl da beim Einsetzen auch 0=1 rauskommt.

 

Das Beispiel ist zwar wirklich etwas dröge, aber es steckt ein wichtiges numerische sPrinzip dahinter: Bei der Subtraktuion vonZahlen können die relativen Fehler in astronomische Höhen explodieren.

 

Es liegt also (@Maxi) nicht an der fixen Stellengenauigkeit (der Taschenrechner rechnet vermutlich intern mit float), sondern an der numerischen Instabilität der Differenzbildung. Würde der REchner einen stabilen Algorithmus verwenden, kämen die exakten 5 * 10 hoch minus 11 heraus. (Der numerisch stabile Algorithmus wäre allerdings bei x1 = 12*20 hoch 10 instabil. Irgendwo ist es immerr S*******, wenn fast identische Zahlen voneinender abgezogen werden).

Interessanterweise ist Lösung 1 (x1=2*10 hoch 10) richtig, obwohl da beim Einsetzen auch 0=1 rauskommt.

 

Vielleicht versteh ich Dich jetzt falsch, aber Du schreibst doch selbst dass die exakte Lösung für x1=10^10+sqrt(10^20-1) sei.

 

Das hatte ich versucht zu verdeutlichen. Es liegt nicht an der begrenzten Genauigkeit des Rechners. Es liegt an der mangelnden "numerischen Stabilität" des Algorithmus zur Nullstellenberechnung.

 

Was ich nur meinte ist, dass der Umstand das bei der Berechnung von 10^10-sqrt(10^20-1)=0 herauskommt daran liegt (mir fällt jetzt keine andere Formulierung ein) dass der Rechner nur eine begrenzte Zahl an Digits hat. Wenn der Rechner sagen wir mal (10!^10!^10!)!! Stellen hätte (um sicher zu gehen ) dann käme bei der obigen Subtraktion nicht 0 heraus. Mein Rechner gibt nämlich an : 1E20-1=1E20 aber

1E9-1=9.99999999E8. Was ist der Grund für die numerische Instabilität ? Darum gehts mir.

Wenn jemand hilfesuchend nach einer Änderung fragen würde, dann wäre es natürlich blöd soviel Speicher zu reservieren, dann müsste man natürlich am Algorithmus werkeln.

 

 

 

* (10!^10!^10!)!! ist bestimmt größer als die Zahl der Atome im Universum

bearbeitet 9. Dezember 2004 von maxinquaye

[Sokrates]

Interessanterweise ist Lösung 1 (x1=2*10 hoch 10) richtig, obwohl da beim Einsetzen auch 0=1 rauskommt.

 

Vielleicht versteh ich Dich jetzt falsch, aber Du schreibst doch selbst dass die exakte Lösung für x1=10^10+sqrt(10^20-1) sei.

Natürlich ist x1=10^10+sqrt(10^20-1) die exakte Lösung. Aber 2* 10^10 ist nach den Regeln der Rundung eine akzeptable Rundung, weil der Fehler kleiner ist als 10^-10, der relative Fehler ist also winzig, nämlich 10^-18 %. Damit ist die Lösung 2*10^10 als korrekt anzusehen.

 

Um eine ähnlich korrekte Lösung für x2 zu bekommen, muss man

 

x2=10^10-sqrt(10^20-1) auf eine genügende Genauigleit ausrechnen. Und die genügende Genauigkeit ist eben 1/2 * 10^-10 und nicht 0. Das ist nicht eine Frage, wieviele Stellen der Taschenrechner hat, sondern eine Frage der von der Mathematik gesetzten Standards.

 

Mein Rechner gibt nämlich an : 1E20-1=1E20 aber

1E9-1=9.99999999E8. Was ist der Grund für die numerische Instabilität ? Darum gehts mir.

 

Das Ergebnis 10^20-1 = 10^20 ist vollkommen korrekt für einen Rechner mit einer Genauigkeit von 10 Stellen. Dagegen ist das Ergebnis 10^10-sqr(10^20-1) = 0 nicht korrekt für einen Rechner mit 10stelliger Genauigkeit. Die akzeptable Lösung wäre 1/2 * 10^-10.

 

Der Grund für den Fehler ist bauartbedingt: Man könnte ihn beheben, indem man deutlich mehr interne Stellen einführt, als man extern anzeigt (die zweitbeste Lösung) oder indem man den Algorithmus numerisch stabil macht (das ist die "gute" Lösung). Die Probleme der "Fehlerfortpflanzung" sind ganz wichtige Probleme bei jeder Art von empirischer Wissenschaft. Im Zeitalter des Computers gehört so etwas eigentlich schon in die Mittelstufe der Gymnasien - meist wird es nicht mal an Unis gescheit behandelt. (Ich hatte damals im Anfängerpraktikum Physik einen Professor, der da sehr krümelkackerisch war und von dem ich das gelernt habe).

bearbeitet 9. Dezember 2004 von Sokrates

[Ute]

Und das ist eine geeignete Aufgabe für Schüler ab etwa Klasse 10???

[Beutelschneider]

@Ute: Zumindest sollte jeder Schüler der einen Taschenrechner bedient auch wissen wo dessen Grenzen liegen. Und was ein Überschlag bzw. eine Probe ist.

Und am besten auch wie vorher drüber nachdenkt was man eigentlich berechnen will.

[Sokrates]

Und das ist eine geeignete Aufgabe für Schüler ab etwa Klasse 10???

Meine ich schon. Die Lösungen quadratischer Gleichungen sind Klasse 9, Potenzrechnen Klasse 10, Binomische Formeln noch früher. Das kann man schön erarbeiten. Man kann auch zum Beispiel das Gleiche mit 10^3 statt 10^10 rechnen (wo es der Taschenrechner noch volle Pulle kann). Und dann künstlich während der Rechnung runden lassen, z.B. auf 3 Stellen.

 

Man kann Experimente durchführen: Die Körperlänge eines Schülers messen, indem er sich auf den Boden legt und man von den Beinen zur einen Wand, vom Kopf zur anderen Wand und dann den Abstand der Wände misst - jeweils so genau wie möglich, und dann das (katastrophale) Ergebnis diskutiert.

 

Und so weiter. Das muss ein Zehntklässler ganz klar verstehen. Das ist einfacher als Pi oder der Sinus, und das lernen sie ja auch.

 

Das eigentliche Fehlerfortpflanzungsgesetz ist eine Anwendung der Differentialrechnung. Das würde ich in Klasse 11 machen, weil es wichtiger ist als die Sch... Kurvendiskussionen, die im Zeitalter von MS-Excel ohnehin so nützlich wie eine Logarithmentafel oder ein Rechenschieber sind.

bearbeitet 9. Dezember 2004 von Sokrates

[Wally]

Ich verstehe Wallys Erklärung nicht.

Ich habe einfach durch Ausprobieren (mit Excel) herausgefunden, dass die beiden Lösungen x1=0 bzw. x2=10^10 ungefähr stimmen,

man muss nur einen Rundungsfehler von ca. 0,00000000005 zu 0 addieren

bzw. ca. 0,000001905 von 10^10 subtrahieren.

Und diese Rundungsfehler verzeihe ich einem Rechner, wenn er bei der Berechnung mit 20stelligen Zahlen rechnet.

bearbeitet 9. Dezember 2004 von Wally

[Sokrates]

Ich verstehe Wallys Erklärung nicht.

Ich habe einfach durch Ausprobieren (mit Excel) herausgefunden, dass die beiden Lösungen x1=0 bzw. x2=10^10 ungefähr stimmen,

man muss nur einen Rundungsfehler von ca. 0,00000000005 für x1 und ca. 0,000001905 für x2 berücksichtigen.

Und diese Rundungsfehler verzeihe ich einem Rechner, wenn er bei der Berechnung mit 20stelligen Zahlen rechnet.

Ganz wichtig ist aber: Es kommt nicht auf den absoluten Fehler, sondern auf den relative Fehler an. Wenn Du Dich bei einer Milliarde Euro um 1 Euro vertust, ist das weniger schlimm, als wenn Du Dich bei 13 Cent um einen Euro vertust. Deshalb ist auch x1=10^10 akteptabel, aber x2=0 nicht.